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Consideremos distribuições de correntes tais que
![\begin{displaymath} \int \vec{j}.\vec{n}dS + \int \sigma_{\perp}dl=0 \end{displaymath}](img55.png) |
(27) |
Vamos mostrar que há soluções distintas de
e
. De fato, sejam
Vamos mostrar que, qualquer que seja a superfície
e qualquer que seja a curva fechada
em torno da superfície,
![\begin{displaymath} \int c\;rot\vec{M}.\vec{n} dS + \oint c\left(\vec{M}\times\vec{n}\right)_{\perp}dl=0 \end{displaymath}](img62.png) |
(30) |
A primeira integral dá, pelo teorema de Stokes,
![\begin{displaymath} c\oint \vec{M}.\vec{dl} \end{displaymath}](img63.png) |
(31) |
e a segunda, pelo que vimos na seção anterior,
. Logo, a Eq.(30) é satisfeita. Note-se que pode haver compensação: os dois termos não precisam ser, separadamente, nulos. Vamos agora calcular o momento magnético de dipolo devido a ambas as correntes. É praticamente uma repetição de cálculo feito anteriormente. A i-ésima componente de
é:
Como
temos
![\begin{displaymath} \frac{1}{2c}\int dS\vec{r}\times c(\vec{M}\times \vec{n})=\f... ...r} .\vec{n})\vec{M}-\frac{1}{2}\int dS(\vec{r}.\vec{M})\vec{n} \end{displaymath}](img72.png) |
(34) |
Além disso,
![\begin{displaymath} \int dV div(M_i\vec{r})=\int dS\; M_i(\vec{r}.\vec{n})=\left(\int dS\vec{M}(\vec{r}.\vec{n}) \right)_i \end{displaymath}](img73.png) |
(35) |
Logo, temos precisamente
![\begin{displaymath} \vec{m}=\int dV\vec{M} \end{displaymath}](img74.png) |
(36) |
e, assim, também quando se consideram as correntes superficiais, a magnetização é o momento de dipolo magnético por unidade de volume.
Como a relação definidora de
envolve só o seu rotacional, podemos construir infinitos
equivalentes adicionando a um deles o gradiente de uma função arbitrária, pois
![\begin{displaymath} \vec{j}=c\;rot\vec{M}=c\;rot(\vec{M}+grad\;\phi) \end{displaymath}](img75.png) |
(37) |
e
Vamos mostrar que
ainda é solução da Eq.(27). De fato, vimos que o último termo dessa equação pode ser escrito, quando se insere a expressão para
em termos de
, como
![\begin{displaymath} -c\oint \vec{M}.\vec{dl} \end{displaymath}](img78.png) |
(38) |
Acrescentando-se a
um termo da forma
teremos, na última equação, a adição de um termo
![\begin{displaymath} -c\oint \vec{\nabla}\phi.\vec{dl} \end{displaymath}](img80.png) |
(39) |
que é zero, pois
e
Logo, a Eq.(27) ainda é satisfeita. A densidade de corrente
não é alterada pela adição do gradiente, mas a densidade superficial de corrente é. Logo, a flexibilidade na escolha de
efetivamente não existe, pois os diversos
possíveis correspondem a densidades superficiais de correntes diferentes, e elas são quantidades mensuráveis. Este fato não é só de interesse acadêmico: note que
![\begin{displaymath} \vec{H}=\vec{B}-4\pi\vec{M} \end{displaymath}](img20.png) |
(40) |
de maneira que, se
tiver alguma ambigüidade,
também terá.
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Henrique Fleming 2002-12-24