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Tratamento completo da magnetização

Consideremos distribuições de correntes tais que

$\begin{displaymath} \int \vec{j}.\vec{n}dS + \int \sigma_{\perp}dl=0 \end{displaymath}$

(27)

Vamos mostrar que há soluções distintas de $\vec{j}=0$ e $\vec{\sigma}=0$ . De fato, sejam

$\displaystyle \vec{j}$	$\textstyle =$	$\displaystyle c\;rot\vec{M}$	(28)
$\displaystyle \vec{\sigma}$	$\textstyle =$	$\displaystyle c \vec{M}\times\vec{n}$	(29)

Vamos mostrar que, qualquer que seja a superfície

e qualquer que seja a curva fechada

em torno da superfície,

$\begin{displaymath} \int c\;rot\vec{M}.\vec{n} dS + \oint c\left(\vec{M}\times\vec{n}\right)_{\perp}dl=0 \end{displaymath}$

(30)

A primeira integral dá, pelo teorema de Stokes,

$\begin{displaymath} c\oint \vec{M}.\vec{dl} \end{displaymath}$

(31)

e a segunda, pelo que vimos na seção anterior, $-c\oint\vec{M}.\vec{dl}$ . Logo, a Eq.(30) é satisfeita. Note-se que pode haver compensação: os dois termos não precisam ser, separadamente, nulos. Vamos agora calcular o momento magnético de dipolo devido a ambas as correntes. É praticamente uma repetição de cálculo feito anteriormente. A i-ésima componente de $\vec{m}$ é:

$\displaystyle m_i$	$\textstyle =$	$\displaystyle \left(\frac{1}{2c}\int dV\vec{r}\times\vec{j}\right)_i+ \left(\frac{1}{2c}\int dS\vec{r}\times \vec{\sigma}\right)_i$	(32)
	$\textstyle =$	$\displaystyle \int dV M_i+ \left(\frac{1}{2}\int dV\vec{\nabla}(\vec{r}.\vec{M})\right)_i -\frac{1}{2}\int dV div(M_i\vec{r})$	(33)
	$\textstyle +$	$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\int dS\vec{r}\times c( \vec{M}\times\vec{n})\right)_i$

Como

$\begin{displaymath} \vec{r}\times (\vec{M}\times \vec{n})=(\vec{r}.\vec{n})\vec{M}-(\vec{r}.\vec{M})\vec{n} \end{displaymath}$

temos

$\begin{displaymath} \frac{1}{2c}\int dS\vec{r}\times c(\vec{M}\times \vec{n})=\f... ...r} .\vec{n})\vec{M}-\frac{1}{2}\int dS(\vec{r}.\vec{M})\vec{n} \end{displaymath}$

(34)

Além disso,

$\begin{displaymath} \int dV div(M_i\vec{r})=\int dS\; M_i(\vec{r}.\vec{n})=\left(\int dS\vec{M}(\vec{r}.\vec{n}) \right)_i \end{displaymath}$

(35)

Logo, temos precisamente

$\begin{displaymath} \vec{m}=\int dV\vec{M} \end{displaymath}$

(36)

e, assim, também quando se consideram as correntes superficiais, a magnetização é o momento de dipolo magnético por unidade de volume.

Como a relação definidora de $\vec{M}$ envolve só o seu rotacional, podemos construir infinitos $\vec{M}$ equivalentes adicionando a um deles o gradiente de uma função arbitrária, pois

$\begin{displaymath} \vec{j}=c\;rot\vec{M}=c\;rot(\vec{M}+grad\;\phi) \end{displaymath}$

(37)

$\begin{displaymath} rot\; grad =0 \end{displaymath}$

Vamos mostrar que $\vec{M}'=\vec{M}+grad\;\phi$ ainda é solução da Eq.(27). De fato, vimos que o último termo dessa equação pode ser escrito, quando se insere a expressão para $\vec{\sigma}$ em termos de $\vec{M}$ , como

$\begin{displaymath} -c\oint \vec{M}.\vec{dl} \end{displaymath}$

(38)

Acrescentando-se a $\vec{M}$ um termo da forma $grad\;\phi$ teremos, na última equação, a adição de um termo

$\begin{displaymath} -c\oint \vec{\nabla}\phi.\vec{dl} \end{displaymath}$

(39)

que é zero, pois

$\begin{displaymath} \vec{\nabla}\phi.\vec{dl}=\vec{\nabla}\phi.\frac{\vec{dl}}{dl}dl=\frac{d\phi}{dl}dl =d\phi \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \oint d\phi=0 \end{displaymath}$

Logo, a Eq.(27) ainda é satisfeita. A densidade de corrente $\vec{j}$ não é alterada pela adição do gradiente, mas a densidade superficial de corrente é. Logo, a flexibilidade na escolha de $\vec{M}$ efetivamente não existe, pois os diversos $\vec{M}$ possíveis correspondem a densidades superficiais de correntes diferentes, e elas são quantidades mensuráveis. Este fato não é só de interesse acadêmico: note que

$\begin{displaymath} \vec{H}=\vec{B}-4\pi\vec{M} \end{displaymath}$

(40)

de maneira que, se $\vec{M}$ tiver alguma ambigüidade, $\vec{H}$ também terá.

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Henrique Fleming 2002-12-24